Формулы, дающие приближённое выражение функции у = f (x) при помощи интерполяции, т. е. через интерполяционный многочлен Рn(х) степени n, значения которого в заданных точках x₀, x₁, ..., х_n совпадают со значениями y₀, y₁, ..., у_n функции f в этих точках. Многочлен Р_n(х) определяется единственным образом, но в зави-симости от задачи его удобно записывать различными по виду формулами.

1. Интерполяционная формула Лагранжа:

Ошибка, совершенная при замене функции f (x) выражением P_n(x), не превышает по абсо-лютной величине

где М — максимум абсолютной величины (n + 1)-й производной f ⁿ⁺¹(x) функции f (x) на отрезке [x₀, x_n].

2. Интерполяционная формула Ньютона. Если точки x₀, x₁, ..., x_n расположены на равных расстояниях (x_k = x₀ + kh), многочлен P_n(x) можно записать так:

(здесь x₀ + th = х, а Δ ^k — разности k-го порядка:Δ^k y_i = Δ ^k-1 y_i+1 — Δ^k-1y_i). Это так назы-ваемая формула Ньютона для интерполирования вперёд; название формулы указывает на то, что она содержит заданные значения у, соответствующие узлам интерполяции, нахо-дящимся только вправо от x₀. Эта формула удобна при интерполировании функций для значений х, близких к x₀. При интерполировании функций для значений х, близких к наи-большему узлу x_n, употребляется сходная формула Ньютона для интерполирования назад. При интерполировании функций для значений x, близких к x_k, формулу Ньютона целесо-образно преобразовать, изменив начало отсчёта (см. ниже формулы Стирлинга и Бесселя).

Формулу Ньютона можно записать и для неравноотстоящих узлов, прибегая для этой це-ли к разделённым разностям. В отличие от формулы Лагранжа, где каждый член зависит от всех узлов интерполяции, любой k-й член формулы Ньютона зависит от первых (от начала отсчёта) узлов и добавление новых узлов вызывает лишь добавление новых членов формулы (в этом преимущество формулы Ньютона).

3. Интерполяционная формула Стирлинга: (о значении символа μ и связи центральных разностей δ^mс разностями Δ^m) применяется при интерполировании функций для значе-ний х, близких к одному из средних узлов а; в этом случае естественно взять нечётное число узлов x_-k, ..., x_-1, x₀, x₁, ..., x_n, считая а центральным узлом x₀.

4. Интерполяционная формула Бесселя: применяется при интерполировании функций для значений х, близких середине а между двумя узлами; здесь естественно брать чётное число узлов x_-k, ..., x_-1, x₀, x₁, ..., x_k, x_k+1, и располагать их симметрично относительно a (x₀ < а < x₁).

Лит.: Гончаров В. Л., Теория интерполирования и приближения функций, 2 изд., М., 1954; Крылов А. Н., Лекции о приближённых вычислениях, 6 изд., М., 1954; Юл Дж. Э., Кендэл М. Дж., Теория статистики, пер. с англ., 14 изд., М., 1960.

В. Н. Битюцков